Tuto situaci řeší Blandovo anticyklické pravidlo, které upravuje volbu klíčového prvku takovým způsobem, aby k zacyklení nedošlo. Jako klíčový sloupec bereme ten, který má v posledním řádku zápornou hodnotu a jeho index je nejnižší. Pokud neexistuje jednoznačná volba, který sloupec opustí bázi, vybereme ten s nižším indexem. Nekonečné množství řešení
Uvažujme příklad
Převedeme na požadovaný tvar. Sestavíme simplexovou tabulku. x 1 x 2 x 3 x 4 b
1 1 1 0 4
1 2 0 1 6
-2 -4 0 0 0
V posledním řádku jsou záporné koefienty, provedeme další iteraci. 1/2 0 1 -1/2 1
1/2 1 0 1/2 3
0 0 0 2 12
Dle dosud popsaných pravidel simplexová metoda končí. Ale povšimněme si, že v posledním řádku je nulový koeficient i u nebázové proměnné. To značí, že úloha má nekonečné množství řešení (řešením je celá stěna mnohostěnu). V tomto případě provedeme nad daným sloupcem (sloupci) další iteraci. Celkové řešení problému bude konvexním obalem jednotlivých řešení. 1 0 2 -1 2
0 1 -1 1 2
Celkové řešení úlohy je:
Neomezené řešení
Další možností, na kterou lze v simplexové metodě narazit je neomezené řešení.
Pharmacy
V posledním řádku sloupce b je hodnota kriteriální funkce za předpokladu, že jsou všechny nebázové proměnné nulové (ty jež nemají ve svých hodnotách jednotkovou matici). Nyní zvolíme klíčový sloupec. Klíčový sloupec je takový sloupec, na kterém hodnota kritéria závisí nejvíce. Z kriteriální funkce je to zřejmě, jelikož má tato proměnná nejvyšší multiplikativní koeficient (5). V simplexové tabulce je to sloupec, v jehož posledním řádku je nejnižší záporná hodnota (nejvyšší v absolutní hodnotě). Pokud jsou všechny hodnoty kladné, tak algorimus terminuje, řešení ve sloupci b je optimální. Následuje volba klíčového prvku. V klíčovém sloupci hledáme takovou kladnou hodnotu, jejíž podíl s odpovídající hodnotou ve sloupci b je minimální (). V tomto případě je to hodnota na druhém řádku. V případě rovnosti více minimálních hodnot vybereme libovolnou z nich. Tímto postupem vybíráme z omezení to, které je nejtvrdší (podle třetího omezení je maximálně 9, podle druhého maximálně 6). Dalším krokem již je výpočet nové simplexové tabulky.
Simplexová metoda ( Simplexový algoritmus) je iterativní způsob řešení problémů lineárního programování (lineární optimalizace) objevený americkým matematikem Georgem Dantzigem v roce 1947. Simplexová metoda postupuje od základního řešení, v každém svém kroku řešení pozmění takovým způsobem, aby hodnota účelové funkce byla vyšší než v kroku předchozím. Algoritmus terminuje, pokud řešení již nelze zlepšit (je optimální). Základní postup
Základní postup řešení problémů maximalizace lineárního programování simplexovou metodou vyžaduje omezení ve tvaru nerovností a všechny proměnné musí být kladné řešení minimalizačních problémů je zapotřebí převést úlohu na maximalizační dle vzorce. Prvním krokem je odstranění nerovností z podmínek, čímž vzniknou v budoucí simplexové tabulce bázové proměnné. Nyní přepíšeme problém do simplexové tabulky. x 1 x 2 x 3 x 4 x 5 b
1 0 1 0 0 4
0 2 0 1 0 12
3 2 0 0 1 18
-3 -5 0 0 0 0
Sloupce odpovídají jednotlivým proměnným, řádky jednotlivým podmínkám. V posledním řádku je zapsáno kritérium ve tvaru.
2020): Dualita a její aplikace. Ukázali jsme si řešení 1. teoretického domácího úkolu a příkladů z devátého cvičení. Byl zadaný praktický domácí úkol. Seznam příkladů ze cvičení [ PDF]. Jedenácté cvičení (28. 2020): Komplementarita. Ukázali jsme si řešení příkladů z desátého cvičení a bylo zadané třetí opáčko [ PDF] formou domácího úkolu. Seznam příkladů ze cvičení [ PDF]. Dvanácté cvičení (5. 2020): Totální unimodularita. Ukázali jsme si řešení příkladů z jedenáctého cvičení a třetího opáčka. Byl zadaný 2. teoretický úkol [ PDF]. Seznam příkladů ze cvičení [ PDF]. Třinácté cvičení (12. 2020): Byla zadána druhá písemka [ PDF] formou domácího úkolu s jedním týdnem na řešení a nelze odevzdávat opakovaně. Ukázali jsme si řešení příkladů z dvanáctého cvičení. Čtrnácté cvičení (19. 2020): Cvičení proběhlo online přes Zoom, záznam [ ZIP]. Ukázali jsme si řešení druhé písemky, 2. teoretického úkolu a praktického úkolu.
To nastává tehdy, je-li mnohostěn řešení neomezený a vektor kriteriální může růst nadevšechny meze. Mějme příklad
x 1 x 2 x 3 b
-2 1 1 1
-1 -3 0 0
Řešení není optimální, provedeme další iteraci. -7 0 3 12
V simplexové tabulce jsme se nyní dostali do situace, kdy by musela být hodnota klíčové prvku záporná, což není možné. Řešení je neomezené. Jiná omezení a jejich převod na kanonický tvar
Za předpokladu, že jsou omezení zadána například pomocí rovnic (nikoliv pomocí nerovnic), nebyli bychom schopni problém řešit simplexovou metodou, protože by nám chybělo díky absenci báze základní řešení. V tomto případě se napřed musí vyřešit tzv. umělý problém. Tato úloha má zřejmě totožné řešení jako úloha původní, a to pokud. Pokud y nelze položit rovné nule, pak úloha nemá řešení. Nejprve vyřešíme umělý problém tak, aby báze neobsahovala proměnné y. V momentě, kdy se nám to podaří, můžeme tyto proměnné z příkladu vyloučit - máme totiž simplexovou tabulku, která obsahuje základní bázi zadaného problému (nezávisí na proměnných y).
Show simple item record
Network simplex method
visor Popela, Pavel cs
Khýr, Lukáš cs
2019-05-17T13:26:14Z
2018 cs
tation KHÝR, L. Síťová simplexová metoda [online]. Brno: Vysoké učení technické v Brně. Fakulta strojního inženýrství. 2018. cs
105711 cs
scription. abstract Práce je zaměřena na shrnutí poznatků týkajících se matematického modelování v oblasti optimalizace. Budeme se podrobněji zabývat simplexovou metodou a především její síťovou modifikací, která má využití v různých praktických aplikacích. Pomocí implementace těchto dvou metod v Matlabu budou řešeny úlohy různé velikosti a budou porovnávána jejich řešení. V závěru práce se řeší úloha s reálnými daty poskytnutá Ústavem procesního inženýrství. cs
scription. abstract This thesis is focused on summary knowledges relating to mathematical modeling in optimization area. We will deal with simplex method in detail and especially its network modification, which is used in various practical applications. We will solve tasks of various sizes and compare their solutions using implementation these two methods in Matlab.
Sbírka úloh - Simplexová metoda
5 25 62. 5 ANO
AP 2. 5 3 2 4 7 8 24. 5 51 ANO
FM 2 3 4 14 19. 5 8 50. 5 ANO
Ž 1 3 3 4 8 25 18 62 ANO
MM 3 4 24 23 54 ANO
Zadání domácích úkolů:
1. teoretický domácí úkol [ PDF] (zadáno 6. 4. 2020, termín odevzdání 21. 2020)
Praktický domácí úkol [ PDF] (zadáno 21. 2020, termín odevzdání 19. 5. 2020)
2. teoretický domácí úkol [ PDF] (zadáno 5. 2020)
Seznam literatury:
[L] Martin Loebl: Skriptíčka z lineárního programování. [ link]
[M] Jiří Matoušek: Lineární programování: Úvod pro informatiky. [ PDF]
[S] Jiří Sgall: Lineární programování a kombinatorická optimalizace. [ PDF]
První cvičení (18. 2. 2020): Úvod, podmínky zápočtu a lineární nerovnice. Probrány příklady 1, 2, 3 a 5. Seznam příkladů ze cvičení [ PDF]. Druhé cvičení (25. 2020): Celočíselné programy. Probrány příklady 1, 2, 3, 4 a první část příkladu 5. Seznam příkladů ze cvičení [ PDF]. Třetí cvičení (3. 3. 2020): Ostré nerovnosti a další NP-těžké úlohy a celočíselné programy. Psali jsme první opáčko, probrány příklady 1, 2, 3, 4 a nastíněn příklad 5.
- Nejlepší hry na mobil
- Simplexová metoda online casino
- Simplexová metoda online pharmacy
- Odrážedlo pro nejmenší
Tímto končí první fáze řešení, dále již postupujeme dle standardního postupu. 0 1 1 6
1 0 -1 4
3 2 0 0
Simplexovou tabulku upravíme tak, aby v posledním řádku pod bázovými proměnnými byly nulové koeficienty. 0 0 1 -24
Z upravené tabulky vidíme, že jsme nalezli optimální řešení (pokud bychom toto štěstí neměli, tak bychom postupovali dle běžné simplexové metody). Literatura
ŠTECHA, Jan. Optimální rozhodování a řízení: Přednášky. [s. l. ]: Vydavatelství ČVUT, 2002. 241 s. ISBN 80-01-02083-5.
Získání alespoň 50 bodů z celkového počtu 100 bodů. V průběhu semestru zadám:
Dvě velké písemky na celé cvičení (90 minut). Z každé písemky bude možné získat 25 bodů. První písemka bude zhruba v polovině semestru, druhá na konci. Termíny později upřesním. Praktický programovací domácí úkol, za který bude možné získat 30 bodů a který zadám zhruba v polovině semestru a čas na jeho vyřešení a sepsání bude zhruba měsíc. Opáčka a dva teoretické domácí úkoly, celkem za 20 bodů. Opáčko bude krátká písemka zadaná na začátku cvičení, hlášená aspoň týden předem. Čas na vyřešení a sepsání teoretických domácích úkolů bude zhruba dva týdny. V případě lepšího řešení je možné odevzdat jej znovu. Domácí úkoly můžete posílat i emailem, ale snažte se, prosím, dodržet rozumnou velikost přílohy. Všechny úlohy (domácí i ty řešené na cvičeních) budou dostupné zde na webu. Účast na cvičeních je nepovinná. Z důvodu ochrany osobních údajů u prvních odevzdaných řešení napište kromě jména i přezdívku, pod kterou chcete mít své body zveřejněny na webu.
Po případných úpravách nové tabulky (zajištění nulových koeficientů pod bází) již postupujeme standardním způsobem
Ukažme si uvedený postup na příkladu (zdroj: skripta profesora Štechy). Provedeme úpravu nerovnic. Ze zadání nyní vidíme, že bychom klasickou simplexovou metodu nemohli nastartovat (chybí jednotková báze). Musíme proto provést dvoufázové řešení. V první fázi vyřešíme umělý problém dle vzorce uvedeného výše. Nejprve sestavíme simplexovou tabulku. x 1 x 2 x 3 y 1 y 2 b
1 1 0 1 0 10
1 0 -1 0 1 4
0 0 0 1 1 0
Tabulku upravíme tak, aby pod bází byly nulové koeficienty. -2 -1 1 0 0 -14
Provedeme první iteraci simplexové metody. 0 1 1 1 -1 6
0 -1 -1 0 2 -6
Řešení není stále optimální (poslední řádek obsahuje záporné koeficienty), provedeme další iteraci. Nyní jsme získali řešení umělého problému. Jak vidíme, tak toto řešení nezávisí na hodnotách proměnných y, a proto má původní problém řešení. Nyní můžeme sestavit simplexovou tabulku původního problému tak, že vypustíme sloupce proměnných y a do posledního řádku vepíšeme jeho kriteriální funkci.