V tomto intervalu jsou oba výrazy kladné, takže můžeme absolutní hodnotu odstranit bez další změny. Řešíme tak rovnici:
\[4x+2+x-1=6\]
Tuto rovnici lehce vyřešíme:
\[\begin{eqnarray}4x+2+x-1=6\\5x+1=6\\5x=5\\x=1\end{eqnarray}\]
Dostali jsme další výsledek, stejný jako v předchozím intervalu. Nicméně je toto platné řešení pro interval, ve kterém se pohybujeme? Není! Pohybujeme se v otevřeném intervalu (1, ∞), jednička není součástí tohoto intervalu, takže toto nalezené řešení v tomto třetím kroku nemůžeme počítat mezi platná řešení. Lineární rovnice s absolutní hodnotou má dvě řešení, \(K=\left\{-\frac75, 1\right\}\). Grafické řešení #
Stejně jako klasická lineární rovnice, i tato lze řešit graficky. Nalevo máme funkci f ( x) = |4 x + 2|+| x − 1| a napravo g ( x) = 6. Necháme si vykreslit tyto dva grafy – protnou se ve dvou bodech. x -ové souřadnice těchto bodů jsou řešením rovnice. Graf funkce f ( x) = |4 x + 2|+| x − 1| a g ( x) = 6
Množina řešení K tak obsahuje body \(K=\left\{-\frac75, 1\right\}\).
- Příklady eu
- Lineární rovnice s absolutní hodnotou — Matematika.cz
- Kvadratické nerovnice – vyřešené příklady
- Příklady
- Rovnice a – Khanova škola
Příklady eu
Absolutní hodnota je funkce, která nezmění nezáporné číslo a ze záporného čísla udělá kladné. Absolutní hodnota se může vyskytnout při řešení lineárních rovnic. Opakování #
Připomeňme si, jak se absolutní hodnota počítá a zapisuje. Výraz v absolutní hodnotě zapisujeme pomocí svislítek takto: | a |. Říkáme "absolutní hodnota z čísla a ". Platí pak, že absolutní hodnota nezáporného čísla je totéž číslo. Příklady: |3| = 3, |64| = 64, |π| = π. Nicméně absolutní hodnota záporného čísla je kladné číslo: \(|-7|=7, |-\pi|=\pi, |-\frac12|=\frac12\). Absolutní hodnota z nuly je nula. Jednoduchý příklad #
Příkladem jednoduché lineární funkce s absolutní hodnotou je rovnice: | x | = 3. Otázkou nyní je, kdy nám absolutní hodnota vrátí jako výsledek tři? Budou to dvě x – jedno kladné a druhé záporné; rovnice tak má dvě řešení. První je rovno x 1 = 3, protože |3| = 3. Druhé řešení je rovno x 2 = −3, protože |−3| = 3. Zkusme rovnici modifikovat a ztížit. |2 x + 1| = 5 Uvnitř absolutní hodnoty už máme složitější výraz.
Hlavní stránka
Sbírka úloh
Nápověda
Autoři
Předměty Lineární algebra I a II Matematická analýza I a II Diskrétní matematika Kombinatorika a grafy I Kombinatorika a grafy II Optimalizační metody Linear algebra I and II Mathematical analysis I - III Discrete mathematics Combinatorics and graph theory I
Zpět na kapitolu
Nerovnice s absolutní hodnotou
a, b, d-f [Krylová]; c, g, h [Lopatková];
a-e, g 5 min; f 10 min. ; h 15 min.
mechanický dril
početní
středně těžký
a)
Řešení
Výsledek
b)
c)
d)
e)
f)
g)
h)
Výsledek
Lineární rovnice s absolutní hodnotou — Matematika.cz
1. V množině R řešte:
Řešení:
2. V množině R řešte:
3. V množině R řešte:
4. V množině R řešte:
5. V množině R řešte:
6. V množině R řešte:
7. V množině R řešte:
8. V množině R řešte:
9. V množině R řešte:
10. V množině R řešte:
Řešení:
- Česko latinský slovník online věty
- Tamara Klusová, Charlize Theron, Aňa Geislerová. Kdo stále mění účesy?
- Šílený max 2 – bojovník silnic
- Hk hradec králové
Kvadratické nerovnice – vyřešené příklady
Rovnice s absolutní hodnotou rovnou nule
3 m
Jak vyřešit příklad, ve kterém se výraz v absolutní hodnotě má rovnat nule? Ukážeme si to jak početně, tak na číselné ose. Na závěr provedeme zkoušku správnosti našeho řešení. Grafy funkcí s absolutní hodnotou
9 m
Zde si pěkně krok po kroku ukážeme, jak z funkčního předpisu funkce můžeme vyčíst informace, pomocí kterých můžeme nakreslit graf. Nerovnice s absolutní hodnotou 3
8 m
Procvičování je důležité, proto tu máme další příklad na nerovnice s absolutní hodnotou. Tentokrát si zároveň zopakujeme i počítání se smíšenými zlomky.
Příklady
1. V množině reálných čísel řešte:
Řešení:
2. V množině reálných čísel řešte:
3. V množině reálných čísel řešte:
4. Najděte všechny reálná čísla "a" tak, aby daná rovnice měla kladné řešení:
5. Určete všechy reálná čísla "m", pro ktoré má daná rovnice kořeň >= 4:
6. Pro která reálná čísla "a" jsou oba kořeny soustavy rovnic záporné (x <0; y <0)? 7. V množině Z– řešte nerovnici:
Riešenie:
8. V množině R řešte:
9. V množině R řešte:
10. Ktéré přirozené číslo "x" vyhovuje nerovnici:
Nerovnici vyhovuje přirozené číslo x = 1
Můžeme tak napsat, pro x z (−∞, 2) platí rovnost: | x − 2| = −( x − 2). Zkusíme si tam dosadit například nulu. Nejprve do výraz s absolutní hodnotou: |0 − 2| = |−2| = 2 a nyní do pravé strany: −(0 − 2) = −(−2) = 2. Jak je vidět, podobné intervaly nám umožní rozdělit výraz s absolutní hodnotou na dva různé výrazy, které můžeme řešit zcela odděleně. To je výhodné. Otázkou nyní zůstává, jak tyto intervaly hledat? Metoda nulových bodů #
Kdy výraz x − 2 měnil znaménko? Z předchozí části víme, že v celém intervalu (−∞, 2) je výraz záporný a v celém intervalu (2, ∞) je kladný. Jaký je v bodě x = 2? Dosazením zjistíme, že 2 − 2 = 0 nulový. To není náhoda. Důvod je nejlépe vidět na grafu lineární funkce:
Graf funkce y = x − 2. v bodě x = 2 přechází křivka ze záporné části do kladné
Grafem lienární funkce je přímka, ta může protnout osu x pouze jednou a v případě, kdy protne osu x, tak změní své znaménko. Proto platí, že pokud lineární funkce protne osu x v bodě a, pak bude mít v intervalu (−∞, a) jiné znaménko než v intervalu ( a, ∞).
Rovnice a – Khanova škola
Výraz v absolutní hodnotě bude vždy kladný. Pokud dosadíme například trojku, získáme: 3 − 2 = 1. Pokud dosadíme desítku, máme: 10 − 2 = 8 atd. Pro jakékoliv číslo z tohoto intervalu je výraz v absolutní hodnotě kladný. Jak nám pak s hodnotou zahýbá absolutní hodnota? Vůbec nijak. To je důležité zjištění. Pokud je výraz pod absolutní hodnotou vždy kladný, pak můžeme absolutní hodnotu odstranit – je tam zbytečná. Pokud bereme x z intervalu (2, ∞), pak platí rovnost | x − 2| = x − 2 (tj. odstranili jsme absolutní hodnotu). A teď opačný příklad – co když budeme brát x z intervalu (−∞, 2)? Jaká bude hodnota výrazu v absolutní hodnotě, tj. hodnota výrazu x − 2? Bude vždy záporná! Zkusíme dosazením jedničky: 1 − 2 = −1 nebo nuly: 0 − 2 = −2. Co nám s touto hodnotou udělá absolutní hodnota? Převrátí ji do kladné podoby, změní znaménko. Změnu znaménko můžeme provést násobením minus jedničkou, protože platí, že 5 · (−1) = −5, ale také −7 · (−1) = 7 a −15 · (−1) = 15. Takže pokud bereme x z intervalu (−∞, 2), pak bude výraz v absolutní hodnotě vždy záporný a absolutní hodnota tak zafunguje a změní výrazu znaménko – vynásobí ho −1.